Themen:
- Einführung des Kondensators
- Betrieb des Kondensators
- Serienverbindung
- Parallelschaltung
- Kapazitiver Füllstandsensor
- Lade- und Entladezeit des Kondensators (RC-Zeit)
- Laden des Kondensators (mit bekannter Ladezeit)
- Entladen des Kondensators
- Laden des Kondensators (mit bekannter Endspannung)
Kondensatoreinführung:
Kondensatoren werden in elektrischen Geräten wie Leiterplatten von Computern, Fernsehgeräten und Radios verwendet. Auf dieser Seite beziehen wir den Begriff „Kondensator“ jedoch auf die Automobiltechnik. In der Automobiltechnik finden sich Kondensatoren in elektronischen Filtern, Steuergeräten, Füllstandsmessern, Zündspulen und Relais.
Ein Kondensator speichert Energie. Diese Energie kann zur Störunterdrückung in einem Funkfilter (der Kondensator filtert bestimmte Frequenzen, wie zum Beispiel Generatorgeräusche) oder als Ausschaltverzögerung in der Innenbeleuchtung dienen. Beim Schließen der Tür erlischt die Innenbeleuchtung langsam. Spannungsschwankungen von Gleichrichtern (Dioden) werden ebenfalls geglättet. Der Kondensator kann in kurzer Zeit aufgeladen und entladen werden.
Funktionsweise des Kondensators:
Ein Kondensator besteht aus zwei (normalerweise metallischen) Leitern, die durch das Dielektrikum getrennt sind. Das geschieht über ein nicht leitendes Material wie Kunststoff oder auch durch Vakuum.
Legt man an die Platten eine elektronische Spannungsquelle an, werden beide Platten aufgeladen. Die linke Platte (mit dem -) wird negativ geladen und die rechte Platte (mit dem +) positiv.
Der Ladestrom stoppt, sobald die Spannungsdifferenz zwischen den beiden Platten so groß ist wie die Spannungsdifferenz an der Spannungsquelle. Dieses Laden braucht Zeit. Diese Zeit kann berechnet werden. Dies wird später auf der Seite behandelt.
Der Ladestrom stoppt, sobald die Spannungsdifferenz zwischen den beiden Platten so groß ist wie die Spannungsdifferenz an der Spannungsquelle. Dieses Laden braucht Zeit. Diese Zeit kann berechnet werden. Dies wird später auf der Seite behandelt.
Reihenschaltung mit Kondensatoren:
Bei in Reihe geschalteten Kondensatoren ist die Ladung aller Kondensatoren gleich
Parallelschaltung mit Kondensatoren:
Bei parallel geschalteten Kondensatoren ist die Spannung an allen Kondensatoren gleich.
Kapazitiver Füllstandsensor:
In diesem Beispiel geht es um den Füllstandsensor im Benzintank eines Autos. Es gibt ein gemeinsames Dielektrikum.
Das Prinzip einer kapazitiven Füllstandsmessung basiert auf der Änderung der Kapazität des Kondensators, die von der Änderung des Füllstands (in diesem Fall der Kraftstoffmenge) abhängt.
Da Benzin kein leitfähiger Stoff ist, kann es aufgrund der Leitung nicht zu einem Kurzschluss zwischen den Platten des Kondensators kommen, wie dies beispielsweise bei Wasser der Fall wäre.
Die Kapazität des Kondensators kann mit einer Formel ermittelt werden. Die Bedeutung der Symbole ist wie folgt:
- C = Kapazität
- A = Plattenoberfläche
- d = Abstand zwischen den Platten
Das Bild zeigt, dass der Tank zu 40 % mit Benzin gefüllt ist. Die restlichen 60 % sind Dampf. Der graue Balken ist der kapazitive Kondensator mit Abstand S (zwischen den Platten). Mit der allgemeinen Formel lässt sich das Fassungsvermögen und damit der Tankfüllstand ermitteln.
Daten:
Dielektrizitätskonstanten:
ε0 (Vakuum) = 8,85 x 10-12 (Potenz zum negativen Zwölftel)
εR Benzin = 2,0
εR Dampf = 1,18
Die Oberfläche (A) dieses Kondensators beträgt 200 mm² (Länge x Breite). Der Abstand zwischen den Elektroden (S) beträgt 1,2 mm
Da der Tank zu 100 % gefüllt ist, gehen wir davon aus, dass die Dielektrizitätskonstante von Benzin (2,0) über die gesamte Oberfläche des Kondensators (200 mm²) wirkt. Wenn der Tank nicht mehr zu 100 %, sondern zu 40 % gefüllt ist (wie im Bild oben), muss die Gesamtoberfläche des Kondensators in Prozente aufgeteilt werden (40 % und 60 % ergeben 100). Es gibt 40 % für Benzin und 60 % für den Dampf. Daher müssen 2 Formeln erstellt werden (C1 und C2):
Die Formeln zeigen, dass der Kondensator bei 40 % Benzin mit 1,18 pF und bei Dampf mit 1,04 pF aufgeladen ist. Da die 40 % und 60 % addiert werden müssen, um 100 % zu ergeben, müssen auch die Kondensatorwerte addiert werden.
Dies kann wie folgt erfolgen: 1,18 + 1,04 ergibt 2,22 pF.
Diese 2,22 pF werden an die Tankanzeige im Armaturenbrett und unter anderem an die ECU weitergeleitet.
Taschenrechner:
Anstatt die Formel jedes Mal selbst ausfüllen zu müssen, können die Daten auch in den Rechner eingegeben werden. Dieser berechnet dann automatisch die Kapazität des Kondensators. Auch sehr nützlich, um die berechnete Antwort zu überprüfen!
Klicken Sie auf das Bild unten, um den Rechner zu starten. Dies öffnet sich in einem neuen Fenster:
Lade- und Entladezeit des Kondensators (RC-Zeit):
Zunächst wird das Konzept von Tau erklärt:
Sobald ein Kondensator mit einem Widerstand in Reihe geschaltet wird, wird der Kondensator aufgeladen, bis die angelegte Spannung (die Quellenspannung oder die Batteriespannung) erreicht ist. Es wurde festgestellt, dass der Kondensator nach 63,2 (Tau) auf 1 % der angelegten Spannung aufgeladen ist. Bei 5 ist der Kondensator zu 99,3 % geladen. (Theoretisch wird der Kondensator nie vollständig auf 100 % aufgeladen). Dies wird durch folgendes Bild deutlich:
Die obige Grafik zeigt die Ladung des Kondensators. Bei t0 schaltet der Kondensator ein und wird bei t0 + 5 aufgeladen.
Zum Zeitpunkt t0+ (auf der x-Achse) hat der Kondensator genau 1 Ladung, da er zum Zeitpunkt t0 eingeschaltet war. Die Y-Achse zeigt, dass dies 63,2 % von Uc beträgt. Zum Zeitpunkt t0+5 ist der Kondensator zu 99,3 % geladen.
Die Formel = R x C berechnet die Menge (Tau).
In der folgenden Schaltung sind zwei Widerstände in Reihe geschaltet. Der Gesamtwiderstand beträgt daher R2+R1. Das ergibt 2+10=10. (20×20^10). Multipliziert mit C von 3 Mikrofarad (10×10^-10) ergibt (6×200^-10) = 3.
Diese 0,2 müssen später in die Berechnung eingegeben werden.
R1 = 10k
R2 = 10k
C = 10µ
Sowohl die Widerstandswerte als auch die Kapazität des Kondensators bestimmen die Lade- und Entladezeit des Kondensators. Die Geschwindigkeit, mit der der Kondensator geladen und entladen werden muss, kann sehr wichtig sein. Insbesondere bei Mikroprozessorschaltungen muss diese Zeit sehr kurz sein. Die Ausschaltverzögerung der Innenbeleuchtung des Fahrzeugs kann lange dauern. Die allgemeine Formel der Schaltzeiten lautet wie folgt:
Uct stellt die Spannung in einer bestimmten Zeit dar. Diese Zeit wird in der Formel berechnet. Uct 0 ist die Anfangsspannung, bei der das Laden bzw. Entladen beginnt. Uct ~ (Zeichen für Unendlich) stellt die maximal erreichbare Spannung dar (also die angelegte Spannung/Batteriespannung). Das e steht für die e-Leistung. Dies ist ein natürlicher Logarithmus. Es ist eine exponentielle Zahl. -(t1 – t0) dividiert durch τ (Tau) liegt jetzt in Potenzform vor. Es muss daher auch ausgedrückt und berechnet werden als e hoch -(t1 – t0) dividiert durch τ.
Darauf folgt + Uct ~. Dies ist auch die angelegte Spannung/Batteriespannung.
Sobald diese Berechnung durchgeführt wurde, wird eine Antwort in Volt (Spannung) ausgegeben.
Der nächste Absatz zeigt ein Beispiel mit einer Schaltung:
Laden des Kondensators (bei bekannter Ladezeit):
In der Abbildung ist der Schalter geschlossen. Von der Batterie fließt ein Strom über die Widerstände zum Kondensator. Wir wollen die Spannung berechnen, wenn der Kondensator 200 Millisekunden lang aufgeladen wird (200 x 10^-3).
U = 10 v
R1 = 10k
R2 = 10k
C = 10 µF (Mikrofarad).
τ = R x C
τ = (10.000 + 10.000) x 0,000010 = 0,2
τ = 200 x 10^-3
In Formelform ergibt sich daraus:
Von t0 bis t1 wird der Kondensator mit 6,3 Volt geladen. Dies entspricht 1τ (da der Kondensator bei 1 zu 63,2 % geladen ist). Nach der Berechnung sieht die Grafik folgendermaßen aus:
Entladen des Kondensators:
Jetzt werden wir den Kondensator entladen. Der Schalter im Diagramm wird von Position 1 auf Position 2 verschoben. Die Spannungsquelle (die Batterie) wird vom Kondensatorkreis getrennt. Im Diagramm sind beide Seiten des Kondensators mit Masse verbunden (über den Widerstand R2). Der Kondensator wird nun entladen. Auch hier bestimmen der Widerstandswert und die Kapazität des Kondensators die Entladezeit, genau wie beim Laden. Allerdings gibt es jetzt einen Widerstand weniger (da R1 nicht mehr im selben Stromkreis liegt). Daher ist die Entladezeit jetzt kürzer als die Ladezeit:
Nun füllen wir die Formel erneut aus, um das Tau zu berechnen:
τ = R x C
τ = 100.000 x 0,001
τ = 100
Nach der Formel ist der Kondensator nach 100ms auf 2,32 Volt entladen. Würden wir t1-t2 nicht über 100 ms, sondern über 200 ms messen, läge die Kurve wieder bei fast 0 Volt. Das Laden dauert länger als das Entladen, da beim Entladen 1 Widerstand im Stromkreis vorhanden ist, anstatt beim Laden, wo 2 Widerstände in Reihe geschaltet sind. Im Prinzip benötigt der Kondensator also mehr als 200 ms, um 0 Volt zu erreichen. Wenn der Schalter zum Zeitpunkt t2 wieder auf Position 1 gedreht wird, würde der Kondensator sofort wieder mit dem Laden beginnen.
Anschließend können wir den Entladezeitraum in die Grafik eintragen:
Laden des Kondensators (bei bekannter Endspannung):
Beim Laden des Kondensators im obigen Beispiel war die Ladezeit (von 200 ms) bekannt. Aus den Daten der Anfangs- und Endspannung, der Ladezeit und der Tau-Anzahl konnte die Endspannung berechnet werden. Der Kondensator wurde dann nach 200 ms mit 6,3 Volt aufgeladen.
Nun kommen wir zu der Situation, dass die Ladezeit unbekannt ist, die endgültige Spannung jedoch bereits angegeben wurde. Der Einfachheit halber verwenden wir dasselbe Beispiel;
(Die Widerstandswerte und der Kondensatortyp sind die gleichen wie im ersten Beispiel).
R1 = 10k
R2 = 10k
C = 10µF (Mikrofarad).
τ = R x C
τ = (10.000 + 10.000) x 0,000010 = 0,2
τ = 200 x 10^-3
Was wir jetzt wissen wollen ist, wie lange es dauert (von t0 bis t1), den Kondensator auf 6,3 Volt aufzuladen?
Durch die Eingabe der bekannten Daten in die Formel der Differentialgleichung 1. Ordnung ist es nicht möglich, sofort eine Antwort zu erhalten. Die Formel muss umgeformt werden, da -(t1 – t0) unbekannt ist und wir es im Prinzip wissen wollen.
Erläuterung: Zunächst wird die Grundformel erstellt. Wir füllen dies mit den uns bekannten Informationen aus. Da wir die Zeit bei einer Ladezeit von 6,3 Volt wissen wollen, tragen wir diese am Anfang der Formel ein. Das (t1 – t0) bleibt so geschrieben.
Dann dividieren wir den Uct~ von 10 v durch die 6,3 v auf der linken Seite der Formel, was das Ergebnis 3,7 v ergibt. Die +10 kann nun durchgestrichen werden.
Der nächste Schritt besteht darin, die -10 (Zahl für die Potenz von e) zu eliminieren. Durch Division von -3,7 durch -10 wird dies aufgehoben. Auf der linken Seite der Formel geben wir nun 0,37 ein.
Jetzt ist es an der Zeit, den E-Antrieb abzuschaffen. Die Umkehrung einer Potenz von e ist ln, ein natürlicher Logarithmus (so wie die Umkehrung einer Potenz die Wurzel ist).
Durch Eingabe der Formel in den Taschenrechner mit der ln-Taste ergibt sich ein Ergebnis von -0,200. Da links und rechts vom =-Zeichen negativ sind, können die Minuszeichen gelöscht werden.
Die Antwort ist 200 ms. Es dauert also 200 ms, bis der Kondensator auf 6,3 Volt aufgeladen ist. Das ist richtig, denn bei der ersten Berechnung der Ladezeit war diese vorgegeben, mit der die 6,3 Volt berechnet werden mussten.
Mit dieser Formel lässt sich auch die Zeit bei beispielsweise 3 Volt berechnen. Ändern Sie dann die 6,3 Volt in 3 Volt, subtrahieren Sie 10 Volt, teilen Sie dies durch -10 Volt und multiplizieren Sie dies erneut mit ln und 200. 10^-3. Es erfolgt dann eine Antwort von 71 ms.
